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基本代数结构

  1. 设 \(S\) 是有多于两个元素的集合. 证明 \(\mathrm{Perm}(S)\) — 从\(S\) 到 \(S\) 的双射的全体, 以映射的复合为群运算构成的群 — 不是交换群.
  2. 设 \(k\) 为域. 令

    \begin{equation*} S(k) = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}: \quad a, b \in k \right\}. \end{equation*}
    • 证明, 在矩阵的加法与乘法之下, \(S(k)\) 构成环, 并且包含了一个平方等 于负 1 的元素.
    • 证明 \(S(\mathbb{R})\) 为域, 但 \(S(\mathbb{C})\) 不是域.
    • 设 \(k = \mathbb{R}\). 证明映射 \(\varphi: S(\mathbb{R}) \to \mathbb{C}\)

      \begin{equation*} A= \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} \mapsto \varphi(A) = a + \mathrm{i}b \in \mathbb{C} \end{equation*}

      为双射, 且满足 \(\varphi(A+B)=\varphi(A) +\varphi(B)\), \(\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)\). 用今后会学到的术语来说, \(\varphi\) 建 立了域 \(S(\mathbb{R})\) 与复数域 \(\mathbb{C}\) 之间的 同构.

    • 证明 \(S(\mathbb{F}_{3})\) 为域. 这个域包含了多少不同元素? \(S(\mathbb{F}_{2})\), \(S(\mathbb{F}_{5})\) 是域吗? 一般地, 对什么 域 \(k\), \(S(k)\) 是一个域?
  3. 考虑复方阵

    \begin{equation*} \mathbf{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{i} = \begin{bmatrix} \mathrm{i} & 0 \\ 0 & -\mathrm{i} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{j} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{k} = \begin{bmatrix} 0 & \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \end{bmatrix}. \end{equation*}

    Hamilton 的 四元数 (quaternion) 的可以如下定义:

    \begin{equation*} \mathbb{H} = \{a \mathbf{1}+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d \mathbf{k} \in \mathrm{M}_{2}(\mathbb{C}): a,b,c,d \in \mathbb{R} \}. \end{equation*}
    • 验证 \(\mathbf{i}^{2} = \mathbf{j}^{2} = \mathbf{k}^{2} = - \mathbf{1}\), 以及 \(\mathbf{ij} = \mathbf{k}\).
    • 四元数 \(q=a \mathbf{1}+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d \mathbf{k}\) 的 长度 (length) (或 范数 (norm)) 定义为

      \begin{equation*} \sqrt{|a|^2 + |b|^2 + |c|^{2} + |d|^{2}}. \end{equation*}

      验证 \(|q_1 q_2| = |q_1|\cdot |q_2|\), 此处 \(q_1 q_2\) 为矩阵乘法.

    • 证明长度为 \(1\) 的四元数在乘法下构成一个群. 你能否找到它与特殊酉群 \(\mathrm{SU}(2)\) (行列式为 1 的 2 阶 酉方阵的全体) 的关系?
    • 证明 \(\mathbb{H}\) 在矩阵的加法与乘法之下构成一个环 (以单位方 阵\(\mathbf{1}\) 为乘法单位), 且任何四元数 \(q \neq 0\) 均有乘法逆元. 因此, \(\mathbb{H}\) 满足除了乘法交换律外的一切域的公理. 这样的代数对象叫 做 除环 (division ring), 或 斜域 (skew field).
    • 令 \(\mathbb{H}_{\mathbb{C}}\) 为环

      \begin{equation*} \mathbb{H}_{\mathbb{C}} = \{a \mathbf{1}+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d \mathbf{k} \in \mathrm{M}_{2}(\mathbb{C}): a,b,c,d \in \mathbb{C} \}. \end{equation*}

      说明 \(\mathbb{H}_{\mathbb{C}}\) 不是斜域. 事实上, 证明 \(\mathbb{H}_{\mathbb{C}}=\mathrm{M}_{2}(\mathbb{C})\).

  4. 在跟数字打交道的时候, 我们知道 \(a^{n}=0\) 推出 \(a=0\). 但是在学习线性代 数的时候我们就知道这一套对矩阵乘法行不通, 比如 \(N=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\) 的平方为 \(0\), 但它自己不是 \(0\). 你能找到一个交换环, 它含有一个平方为 \(0\) 但自己不为 \(0\) 的元素吗?
  5. 令 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \{a + b\sqrt{-5} \in \mathbb{C} : a , b \in \mathbb{Z}\}\).
    • 证明 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) 在复数的加法乘法下构成环. 在这个环里成立等式

      \begin{equation*} 3^2 = \left(2+\sqrt{-5}\right)\left(2-\sqrt{-5}\right). \end{equation*}
    • 对 \(\alpha =n+m\sqrt{-5}\in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\), 定义它 的 范数 (norm) 为\(N(\alpha)=n^2+5m^2\in\mathbb{Z}\). 证明 \(N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)\).
    • 对交换环 \(R\), 定义 \(R^{\times}=\{\alpha\in R: \exists \beta \in R, \alpha\beta=1\}\). 显然, \(\mathbb{Z}^{\times} = \{\pm 1\}\), \(\mathbb{C}[t]^{\times}=\mathbb{C}^{\times}\). 求 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]^{\times}\).
  6. 交换环 \(R\) 中元素 \(\alpha\) 叫做 不可约 (irreducible) 的, 如果对任何满 足 \(\beta\gamma = \alpha\) 的 \(\beta, \gamma \in R\), 要么 \(\beta\in R^{\times}\), 要么 \(\gamma \in R^{\times}\). 比如, \(\mathbb{Z}\) 中的不可约元恰好是所有素 数 (正素数的相反数也被叫做素数); \(\mathbb{C}[t]\) 中的不可约元恰好是所有不 可约多项式. 若 \(R=\mathbb{Z}\) 或 \(R=\mathbb{C}[t]\), 则 \(R\) 中任何非零元都有 “本质上唯一” 的乘积分解 \(n = p_1^{r_1} \cdots p_{s}^{r_s}\), 其中 \(p_i\) 不可约, 并且在相差一 个 \(R^{\times}\) 元素的意义下唯 一. 证明 \(3\) 和 \(2\pm\sqrt{-5}\) 都是\(R\) 中不可约元. 因此, 在环 \(R\) 中, \(9\) 有两个本质不同的不可约元乘积分解.

  1. 验证线性空间 \(\mathbb{F}_{3}^{2}\) 有 \(4\) 个不同的一维子空间. 由此给出 一个从 \(\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{F}_{3})\) 到 \(\mathfrak{S}_{4}\) 的同态. 这个同态 的核是什么? 它是满同态吗?
  2. 令 \(G\) 是 \(\mathbb{F}_{2}\) 上的海森堡 (Heisenberg) 群:

    \begin{equation*} G = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ & 1 & c \\ & & 1 \end{bmatrix} : a, b, c \in \mathbb{F}_{2} \right\}. \end{equation*}
    • 任何 \(G\) 中元素可以被看作 \(\mathbb{F}_{2}^{3}\) 上的一个线性变 换. 验证\(G\)中的变换保持仿射超平面 \(\{(x,y,1)^{T} : x, y \in \mathbb{F}_{2}\} \subset \mathbb{F}_{2}^{3}\).
    • 验证 \(G\) 与 \(D_{4}\) 同构.
  3. \(\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{F}_{p})\) 的阶数是多少?
    • 两个矩阵 \(A, B \in \mathrm{SU}(2)\) 叫做共轭的, 如果存在 \(g \in \mathrm{SU}(2)\), 使得 \(gAg^{-1}=B\). 用线性代数知识证明, \(A,B\in \mathrm{SU}(2)\) 共轭的必要且充分条件是他们的迹相同.
    • 找到课上定义的同态 \(\rho: \mathrm{SU}(2) \to \mathrm{SO}(3)\) 的核.
    • 证明 \(\rho\) 是到 \(\mathrm{SO}(3)\) 的满射.

      [一种办法是直接计算, 步骤也许有点繁琐. 可以利用如下结果简化计算: \(\mathrm{SO}(3)\) 中任一元素可以表示 为 \(B_{\phi}A_{\theta}B_{\psi}\), 其中\(B_{\phi}\) 是绕着 \(z\) 轴的逆时针旋 转 \(\phi\) 弧度; \(A_{\phi}\) 是类似的沿着 \(x\) 轴的旋转. 因此只需要 cook up \(A,B\) 型的矩阵即可保证满射. 另一种比较省事 (但需要一点额外知识) 的方法是使用拓扑学和微分学.]

  4. 证明 “将分量模 \(p\)” 给出了满同态 \(\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Z}) \to \mathrm{SL}_{2}(\mathbb{F}_{p})\).
  5. 回忆: 对群 \(G\), 它的中心 \(Z(G)\) 定义如下:

    \begin{equation*} Z(G) = \{z \in G : zg=gz, \quad \forall g \in G\}. \end{equation*}

    证明 \(\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{F}_{3})/Z(\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{F}_{3}))\cong\mathfrak{A}_{4}\). 回忆第二讲: \(\mathfrak{A}_{4}\) 是空间正四面体的旋转对称构成的群.

  6. 令 \(T \subset \mathrm{SL}_{2}(\mathbb{C})\) 为一切 \(2 \times 2\) 对角且行列式 为 1 的复方阵的全体. 令 \[ N = \{g \in \mathrm{SL}_{2}(\mathbb{C}): g\Lambda g^{-1} \in T, \forall \Lambda \in T\}. \] 显然, \(T\) 是 \(N\) 的正规子群. 描述商群 \(\mathfrak{W}=N/T\). 如果考虑 \(\mathrm{SL}_{3}\) 中的 \(T\) 和 \(N\) 的类似物, \(\mathfrak{W}\) 是什么? 一般的 \(n\) 呢?
  7. 令 \(B\) 是 \(\mathrm{SL}_{2}(k)\) 中上三角矩阵构成的子群.
    • 设 \(H\) 是 \(\mathrm{SL}_{2}(k)\) 的一个正规子群. 证明: 要么\(HB=B\), 要 么 \(HB=\mathrm{SL}_{2}(k)\). [提示: 使用 Bruhat 分解.]
    • 在上述第一种情形,验证\(H \subset Z(\mathrm{SL}_{2}(k))\). 在后一种情形, 证明 \(H\supset[\mathrm{SL}_{2}(k),\mathrm{SL}_{2}(k)]\).
    • 证明, 如果\(|k|>3\), \(\mathrm{PSL}_{2}(k)\) 是单群.
    • 考虑 \(D_{4}\) 作用于平面正方形. 因此 \(D_{4}\) 也作用于 正方形的顶点的全体构成的集合, 以及四条边的集合. 对一个正方形的顶点, 它的稳定化 子群是什么? 边的稳定子群是什么?
    • 实正交群 \(\mathrm{SO}(2)\) 作用于欧氏平面上一切直线的全体构成的 集合. 找出一根直线的稳定子群. 这个作用的轨道有哪些?
    • 设 \(k\) 是域. 验证 \(\mathrm{GL}_{4}(k)\) 在 \(k^{4}\) 的二维子空间构成的集合上有可迁的作用 (即只有一个轨道). 如果 \(k=\mathbb{F}_{p}\), 求 \(k^{4}\) 互不相同的二维子空间的个数.
    • 群 \(\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})\) 通过\(g\ast A = gAg^{-1}\) 作用于一切 \(n \times n\) 复方阵的全体. 描述这个作用的所有轨道.
  8. 这个习题想要给出如下的同构: \(\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{F}_{5})\cong\mathfrak{A}_{5}\). 设 \(k = \mathbb{F}_{p}\), 其中 \(p\) 为奇素数.
    • 证明存在 \(a,b \in k\), 使得 \(a^2 + b^2 + 1 =0\).
    • 定义

      \begin{equation*} \mathbf{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{i} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{j} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & -a \end{bmatrix}, \quad \mathbf{k} = \begin{bmatrix} b & -a \\ -a & -b \end{bmatrix}. \end{equation*}

      验证

      \begin{equation*} \mathbf{i}^{2} = \mathbf{j}^{2} = \mathbf{k}^{2}=-\mathbf{1},\ \mathbf{ij}=\mathbf{k}=-\mathbf{ji}, \ \mathbf{jk}=\mathbf{i}=-\mathbf{kj}, \ \mathbf{ki}=\mathbf{j}=-\mathbf{jk}. \ \end{equation*}
    • 证明 \(Q = \{\pm \mathbf{1}, \pm \mathbf{i}, \pm \mathbf{j}, \pm \mathbf{k}\}\) 是 \(\mathrm{SL}_{2}(k)\) 的 \(8\) 阶子群.
    • 令 \(Y\) 为下列 \(16\) 矩阵构成的集合:

      \begin{equation*} \frac{1}{2}\left(\mathbf{1} \pm \mathbf{i} \pm \mathbf{j} \pm \mathbf{k} \right). \end{equation*}

      证明 \(Y \cup Q\) 是 \(\mathrm{SL}_{2}(k)\) 的 \(24\) 阶子群. 考虑商同态 \(\pi:\mathrm{SL}_{2}(k)\to \mathrm{PSL}_{2}(k)\). 证明 \(H:= \pi(Y \cup Q)\) 同构于 \(\mathfrak{A}_{4}\).

    • 证明 \(X=\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{F}_{5})/H\)含有五个元素. \(\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{F}_{5})\) 在 \(X\) 上的作用 给出了同 态 \(\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{F}_{5})\to \mathfrak{S}_{5}\). 证明这个同态诱 导了同构 \(\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{F}_{5})\cong\mathfrak{A}_{5}\).
    • 设 \(G\) 是群. 设 \(X\) 与 \(Y\) 都是 \(G\)-集. 设存在 \((x,y) \in X \times Y\), 满足如 下性质: 对任何 \(g \in G\), 要么 \(gx=x\), 要么 \(gy=y\). 证明: 要么 \(\mathrm{Stab}(x)=G\), 要么 \(\mathrm{Stab}(y)=G\).
    • 设 \(G\) 是群. 设 \(H\), \(H'\) 都是 \(G\) 的子群, 且满足 \(H\cup H'=G\). 证明, 要么 \(G = H\), 要么 \(G = H'\).
    • 对任何 \(n \geq 3\), 找一个群 \(G\) 的例子, 使得 \(G\) 有子 群 \(H_1,\ldots,H_n\), \(H_i\) 两两互不包含, 且 \(G = H_1 \cup \cdots \cup H_n\).
  9. 设 \(G\) 为 \(p\)-群. 令 \(\rho: G \to \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{F}_{p})\) 为一群同态. 证明, 存在 \(A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{F}_{p})\), 使得 对任何 \(g \in G\), \(A\rho(g)A^{-1}\) 为上三角矩阵, 且对角元为 \(1\).
  10. 令 \(p\) 是素数. 给出一个 \(p^{3}\) 阶非 Abel 群的例子.
  11. 找出 \(\mathfrak{S}_{n}\) 的 Sylow \(p\)-子群的阶数.
  12. 设 \(G\) 为群. 定义 \(\mathscr{D}_{n}G=[\mathscr{D}_{n-1}G,G]\). 则序列

    \begin{equation*} \cdots \lhd \mathscr{D}_{n}G \lhd \mathscr{D}_{n-1}G \lhd \cdots \lhd \mathscr{D}_{0}G = G \end{equation*}

    叫做 \(G\) 的 降中心序列. 我们称 \(G\) 为 幂零群, 若存在 \(m\), 使得 \(\mathscr{D}_{m}G=\{1\}\) (最小的这样的 \(m\) 叫做 \(G\) 的幂零类 (nilpotency class)).

    • 令 \(k\) 为域. 令 \(U\) 为\(\mathrm{GL}_{n}(k)\) 中对角元为 \(1\) 的上三 角矩阵的全体, 证明 \(U\) 为幂零群. 求 \(U\) 的幂零类.
    • 证明一切 \(p\) 群为幂零群.
    • 设 \(G\) 是幂零群, 幂零类为 \(n\). 证明 \(G/Z(G)\) 是幂零群, 幂零类 为\(n-1\). 特别地, \(Z(G)\neq \{1\}\).
    • 设 \(H \subset G\) 是真子群, \(G\) 幂零. 通过对幂零类做归纳, 证明 \(H\neq N_{G}(H)\).
  13. 设 \(G\) 为有限 \(p\)-群, \(H\) 为 \(G\) 的子群.
    • 如果 \([G:H]=p\), 证明 \(H \lhd G\).
    • 证明存在一系列的子群 \(H=H_0\subset H_1\subset\cdots\subset H_{r}=G\), 使得 \([H_i:H_{i-1}]=p\).
  14. 证明 \(126\) 阶群不是单群.
  15. 设 \(p,q\) 都是素数, \(p < q\). 设 \(G\) 是一个 \(pq\) 阶有限群.
    • 考虑 \((p,q)=(3,7)\). 解释为何下面的表现不能给出一个 21 阶群? \[ G = \{a^i b^j :i=0,1,2; j=0,1,\ldots,6,a^3=1=b^7, ab=b^{3}a\}. \] 根据这个例子, 体会为什么不能随便写下一些生成元和关系, 并直接断言得到了群.
    • 如果 \(p-1 \nmid q\), 证明 \(G\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\).
    • 如果 \(p-1 \mid q\), 证明 \(G\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\), 或者 \(G\) 同构于 \(A\), 其中 \(A\) 是 \(\mathbb{F}_{q}\) 上如下仿射变换的 全体: \[ \{x \mapsto ax + b : a, b \in \mathbb{F}_q, a^p=1\}. \]
    • 如果 \(p-1 \mid q\), 求上题中所述群 \(A\) 的中心.
  16. 设 \(G\) 为有限群. 设 \(H \lhd G\). 设 \(S\) 是 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群.
    • 证明 \(H \cap S\) 是 \(H\) 的 Sylow \(p\)-子群.
    • 令 \(\pi: G \to G/H\) 为商映射. 证明 \(\pi(S)\) 是 \(G/H\) 的 Sylow \(p\)-子群.
    • 令 \(\pi: G \to G/H\) 为商映射. 证明任何 \(G/H\) 的 Sylow \(p\)-子群都形 如第二问中的 \(\pi(S)\), 即: 任何 \(G/H\) 的 Sylow \(p\)-子群都是某 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群的像.
    • 设 \(Q \subset H\) 是 \(H\) 的 Sylow \(p\)-子群. 证明 \(N_{Q}(G)H = G\).
  17. 通过初等变换将 \(\begin{bmatrix} 3 & 5 & -3 \\ 4 & 2 & 0\end{bmatrix}\) 化成 Smith 标准形.

环与模

若非特别申明, 环一词代表含幺交换环. 环同态总将 \(1\) 送到 \(1\).

  1. 设 \(A\) 是环. \(A\) 中的元素 \(a\) 被叫做 单位 (unit), 如果存 在 \(b \in A\), \(ab=ba=1\). \(A\) 中的元素 \(a\) 被叫做 幂零 (nilpotent) 的, 如果存 在 \(n \in \mathbb{N}\) 使得 \(a^n = 0\).
    • 求证: 如果 \(a\) 是幂零的, \(b\) 是 \(A\) 中的单位, 则 \(a + b\) 是 \(A\) 中的单位.
    • 证明一切 \(A\) 中的幂零元 (以及 0) 构成 \(A\) 的一个理想. 这 个理想叫做 \(A\) 的 幂零根 (nilpotent radical).
    • 举例说明, 如 \(A\) 为非交换环, 则 (b) 中的断言不对.
    • 求环 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]\) 中的单位.
  2. 设 \(A\) 是环. 我们用 \(A[\![x]\!]\) 来表示 \(A\) 上的所有形式幂级数的全体.
    • 幂级数 \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots\) 是 \(A[\![x]\!]\) 的单位的必要且充分条 件是 \(a_0\) 是 \(A\) 中的单位.
    • 如果 \(f(x)=a_0 + a_1 x + \cdots\) 是幂零的, 证明 \(a_n\) 都是 \(A\) 中的 幂零元.
    • 果 \(k\) 是域, 证明: 对任何 \(f, g \in k[\![x]\!]\), 要么\((f) \subset (g)\), 要么 \((g) \subset (f)\).
    • 如果 \(k\) 是域, 找出 \(k[\![x]\!]\) 的所有理想.
    • 证明 E. Borel 的定理: 在 0 处进行 Taylor 展开 给出了一个满同态 \(\mathscr{C}^{\infty}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}[\![x]\!]\).

      [证明此同态是满射实际是一个微分学题目.]

  3. 如果 \(R\) 是特征 \(p\) (\(p\) 是素数) 的环. 证明 \(x \mapsto x^p: R \to R\) 是从 \(R\) 到自己的同态 (Freshman’s dream). 这个同态叫做 Frobenius 同态. 举例说明 Frobenius 同态可以是同构, 也可以不是同构. 如果环 \(R\) 的特征 \(n\) 不是素数, 取 \(n\) 次方幂定义的映射是否环 \(R\) 到自身的同态?
  4. 考虑环同态 \(\varphi:\mathbb{C}[x,y,z,w] \to \mathbb{C}[u,v]\), \(x \mapsto u^3, y\mapsto u^2 v, z\mapsto uv^2, w\mapsto v^3\). 证明: \(\mathrm{Ker}(\varphi)=(xw-yz,xz-y^2,yw-z^2)\). 证明: 任何上述三个多项式中的两个都无法生成 \(\mathrm{Ker}(\varphi)\).
  5. 对 \(p=3,5\), 确定 \(\mathbb{Z}[x]/(p,x^2+3)\) 的结构.
  6. 如果 \(R\) 是整环, 证明 \(R[x]\) 也是整环.
  7. 证明整环的特征一定是素数 或 \(0\).
  8. 证明 \(\mathbb{C}[t]\) 与商环 \(\mathbb{C}[x,y]/(y^{2}-x^{3})\) 不同构.

    [一种做法是证明第二个环有的理想 \((x,y)\) 不是主理想.]

  9. 设 \(R\) 是环. 称 \(a \in R\) 是 \(f \in R[x]\) 的 , 如果 \(\mathrm{ev}_{a}(f)=f(a)=0\). 证明或否定: 如果 \(f\) 的次数是 \(d\), 则 \(f\) 有至多 \(d\) 个根.
  10. 设有环同态 \(\varphi:\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]\to\mathbb{C}[y_1,\ldots,y_m]\). 设 \(\mathfrak{m}\) 是 \(\mathbb{C}[y_1,\ldots,y_m]\) 的极大理想. 证明 \(\varphi^{-1}(\mathfrak{m})\) 是 \(\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]\) 的极大理想.
  11. 举反例否定以下断言. 若 \(\varphi: A \to B\) 是一个环同态, \(\mathfrak{m}\) 是 \(B\) 的极大理想. 则 \(\varphi^{-1}(\mathfrak{m})\) 是 \(A\) 的极大理想.
  12. 设 \(A\), \(B\) 是环. 证明, 任何 \(A \times B\) 的理想都形如 \(\mathfrak{a} \times \mathfrak{b}\), 其中 \(\mathfrak{a}\) 是 \(A\) 的理想, \(\mathfrak{b}\) 是 \(B\) 的理想.
  13. (中国剩余定理) 设 \(A\) 是环. 设 \(\mathfrak{a}_1,\ldots,\mathfrak{a}_{n}\) 是 \(A\) 的理想. 考虑环同态

    \begin{equation*} \varphi: A \to A/\mathfrak{a}_{1} \times \cdots \times A/\mathfrak{a}_n, \quad r \mapsto (r+\mathfrak{a}_1,\ldots, r+\mathfrak{a}_n). \end{equation*}

    证明:

    • 若 \(\mathfrak{a}_{i}+\mathfrak{a}_{j}=(1)\) 对一切 \(1\leq i,j\leq n\) 成立, 则 \(\bigcap_{i=1}^{n}a_{i}=\prod_{i=1}^{n}\mathfrak{a}_i\);
    • \(\varphi\) 为满射的必要且充分条件是 \(\mathfrak{a}_{i}+\mathfrak{a}_{j} = (1)\) 对一切 \(1\leq i,j\leq n\) 成立;
    • \(\varphi\) 为单射的必要且充分条件是 \(\bigcap_{i=1}^{n}a_{i}=(0)\).
  14. 判断下面的环是否同构. 它们的极大理想有多少个?
    • \(\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]/(2\sqrt{-1}+2)\),
    • \(\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]/((\sqrt{-1}-1)^{3})\),
    • \(\mathbb{F}_{2}\times\mathbb{F}_{2}\times\mathbb{F}_{2}\),
    • \(\mathbb{F}_{2}[\epsilon]/(\epsilon^{3})\).
  15. 证明 \(\mathbb{C}[x,y]/(x^{2}+y^{2}-1)\) 同构于 Laurent 多项式环 \(\mathbb{C}[t,t^{-1}]\).
  16. 令 \(\omega = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\).
    • 证明 \(\mathbb{Z}[\omega]\) 是一个 Euclid 整环.
    • 描述 \(\mathbb{Z}[\omega]\) 的分式域. 作为 \(\mathbb{Q}\) 上的线性空间, \(\mathbb{Z}[\omega]\) 的分式域是几维的?
    • 找出 \(\mathbb{Z}[\omega]\) 中的单位.
    • 设 \(\pi \in \mathbb{Z}[\omega]\) 是素元. 证明 \(N(\pi)\) 要么是一个有理素 数,要么是一个有理素数 \(p\) 的平方. 在前一种情况下, \(\pi\) 不与任何有理素数相伴, 在后一种情况下, \(\pi\) 与 \(p\) 相伴.
    • 如果 \(\pi \in \mathbb{Z}[\omega]\) 满足 \(N(\pi)\) 是有理素 数, 证明\(\pi\) 是 \(\mathbb{Z}[\omega]\) 中的素元.
    • 判断何时一个有理素数 \(p\) 在 \(\mathbb{Z}[\omega]\) 中仍然是一个素元.

      [如果 \(p\equiv 1\ (\mathrm{mod}\;3)\), 则 \(p\) 可以分解 为\(\pi\cdot\overline{\pi}\); 如果 \(p\equiv 2\ (\mathrm{mod}\;3)\), 则 \(p\) 仍然是素数; \(p=3\) 不是素元. 你可 能会用到如下事实 (使用二次互反律即得): \(x^{2}+3\) 在 \(\mathbb{F}_{p}\) 中有根的必要充分条件是\(p\equiv1\ (\mathrm{mod}\;3)\).]

  17. 若 \(I\) 是环 \(R\) 的理想, 且 \(I \neq (0)\), \(I \neq R\). 证明 \(R/I\) 不是自由 \(R\) 模.
  18. 设 \(E, F\) 是环 \(A\) 上的模, \(u: E \to F\) 是线性映射. 设 \(M\) 是 \(E\) 的子模, \(N\) 是 \(F\) 的子模. 令 \(i: M \to E\) 为包含同态, \(q:F \to F/N\) 为商同态. 证明 \(u(M) = \mathrm{Im}(u \circ i)\), \(u^{-1}(N)=\mathrm{Ker}(q\circ u)\).
  19. 令 \(N\) 是 \(A\)-模 \(E\) 的子模, 令 \(F\) 为 \(A\)-模. 证明 \(\{f \in \mathrm{Hom}_{A}(E,F): f(N) = \{0\}\}\) 是 \(\mathrm{Hom}_A(E,F)\) 的 子模, 且有模同构 \[ \mathrm{Hom}_A(E/N,F) \simeq \{f \in \mathrm{Hom}_{A}(E,F): f(N) = \{0\}\}. \]
  20. 求 \(\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}[x,y]}\left(\frac{\mathbb{C}[x,y]}{(1840y+x^{1900}+1937xy},\mathbb{C}[x,y]\right)\).
  21. 令 \(\mathcal{X}\) 是三维空间中单位球面上的光滑切向量场的全体. 我们课上解释 了如何在 \(\mathcal{X}\) 装备 \(\mathcal{C}^{\infty}(S^{2})\) 模结构. 它是 \(\mathcal{C}^{\infty}(S^2)\) 上的自由模吗?
  22. 令 \(R = \mathbb{C}[x,y]\). 证明理想 \((x,y)\) 不是自由 \(R\)-模.
  23. 令 \(\mathsf{T}\) 为模同态 \(\varphi: \mathbb{Z}^{n} \to \mathbb{Z}^{m}\) 的矩阵表示.
    1. 证明 \(\varphi\) 是单射的必要且充分条件是 \(\mathsf{T}\) (看作实数矩阵) 的秩为 \(n\).
    2. 证明 \(\varphi\) 为满射的必要且充分条件是 \(\mathsf{T}\) 的一切 \(m\times m\) 行列式子式的最大公因式是 \(1\).
  24. 写下 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) 的子模 \((2,1+\sqrt{-5})\) 的一个表现矩阵.
  25. 设 \(M\) 为 \(A\) 模. 假设 \(M\) 有两组生成元 \((v_1,\ldots,v_r)\), \((w_1,\ldots,w_s)\). 设 \(\mathsf{T}\) 为 \((v_1,\ldots,v_r)\) 的一组表现矩阵, 且设 \(w_i = \sum_{j=1}^{r} p_{ij}v_j\). 证明若以 \((v_1,\ldots,v_r,w_1,\ldots,w_s)\) 为生成元, 我们可以取表现矩阵为

    \begin{equation*} \begin{bmatrix} \mathsf{T} & -\mathsf{P} \\ \mathsf{0} & \mathsf{Id} \end{bmatrix}. \end{equation*}
  26. 设 \(M\) 为环 \(A\) 上的模. 设 \(\phi:M \to M\) 为 \(A\)-模同态, \(\mathfrak{a}\) 为 \(A\) 的理想.
    • 解释如何利用 \(\phi\) 将 \(M\) 看作多项式环 \(A[\lambda]\) 上的模.
    • 设 \(M\) 是有限生成的 \(A\)-模. 设 \(\phi(M) \subset \mathfrak{a}M\). 证明存在 \(a_i \in \mathfrak{a}\), 使得

      \begin{equation*} \phi^n + a_1 \phi^{n-1} + \cdots + a_n = 0 \end{equation*}

      成立.

      [令 \(v_1,\ldots,v_n\) 为 \(M\) 作为 \(A\)-模的一组生成元. 则 \(\phi(v_i)=\sum_{j=1}^{n}a_{ji}v_j\). 将上面等式看 作 \(A[\lambda]\)-模上的等式, 则有 \(\sum_{j}(\lambda\delta_{ji}-a_{ji})v_{j}=0\), 或用 矩阵的语言, 有 \((v_1,\ldots,v_n)(\lambda\mathsf{Id}-A)=0\). 在上式子两边右乘方阵 \(\lambda\mathsf{Id}-A\) 的伴随矩阵, 得 \(\det(\lambda\mathsf{Id}-A)\cdot v=0\) 对 任何 \(v \in M\) 成立.]

    • 设 \(M\) 是有限生成的 \(A\)-模. 若 \(\mathfrak{a}M=M\), 证明存在 \(x \in \mathfrak{a}\), 使得 \((1+x)M=0\).
  27. 设 \(A\) 是非零环. 如果所有有限生成 \(A\)-模都是自由的, 证明 \(A\) 是域.
  28. 设 \(M\) 为环 \(A\) 上的模. 设 \(\phi:M \to M\) 为 \(A\) 模同态, \(\mathfrak{a}\) 为 \(A\) 的理想.
    • 解释如何利用 \(\phi\) 将 \(M\) 看作多项式环 \(A[\lambda]\) 上的模.
    • 设 \(M\) 是有限生成的 \(A\)-模. 设 \(\phi(M) \subset \mathfrak{a}M\). 证明存在 \(a_i \in \mathfrak{a}\), 使得

      \begin{equation*} \phi^n + a_1 \phi^{n-1} + \cdots + a_n = 0 \end{equation*}

      成立.

      [令 \(v_1,\ldots,v_n\) 为 \(M\) 作为 \(A\)-模的一组生成元. 则 \(\phi(v_i)=\sum_{j=1}^{n}a_{ji}v_j\). 将上面等式看作 \(A[\lambda]\)-模上的等式, 则有 \(\sum_{j}(\lambda\delta_{ji}-a_{ji})v_{j}=0\), 或用矩阵的语言, 有 \((v_1,\ldots,v_n)(\lambda\mathsf{Id}-A)=0\). 在上式子两边右乘方阵 \(\lambda\mathsf{Id}-A\) 的伴随矩阵, 得 \(\det(\lambda\mathsf{Id}-A)\cdot v=0\) 对任何 \(v \in M\) 成立.]

    • 设 \(M\) 是有限生成的 \(A\)-模. 若 \(\mathfrak{a}M=M\), 证明存在 \(x \in \mathfrak{a}\), 使得 \((1+x)M=0\).
  29. 设 \(A\) 是非零环. 如果所有有限生成 \(A\)-模都是自由的, 证明 \(A\) 是域.
  30. 设 \(A\) 是环, \(V_1, \ldots, V_n\) 是 \(A\)-模. 一个 \(A\)-模的 链复形 (chain complex) 是指一串\(A\)-线性映射

    \begin{equation} \label{eq:ok}\tag{\(\ast\)} 0\xrightarrow{\partial_{n+1}} V_{n} \xrightarrow{\partial_{n}} V_{n-1} \xrightarrow{\partial_{n-1}} \cdots \to V_{1} \xrightarrow{\partial_1} V_0 \xrightarrow{\partial_0} 0. \end{equation}

    满足 \(\boxed{\partial_{i}\circ\partial_{i-1}=0}\) 对一切 \(i\in \mathbb{Z}\) 成立. 定义上述链复形 \((V_{\bullet},\partial_{\bullet})\)的第 \(i\) 个 同调模 (homology module)

    \begin{equation*} \boxed{\mathrm{H}_{i}(V_{\bullet},\partial_{\bullet})= \mathrm{Ker}(\partial_{i})/\mathrm{Im}(\partial_{i+1}).} \end{equation*}

    我们称链复形 \eqref{eq:ok} 为一个 正合列 (exact sequence), 如果 \(\mathrm{H}_{i}(V_{\bullet},\partial_{\bullet})=\{0\}\) 对一切 \(i\in\mathbb{Z}\) 成立.

    1. 计算环 \(\mathbb{Z}\) 上的链复形

      \begin{equation*} \mathbb{Z} \to 0 \to \mathbb{Z} \end{equation*}

      的同调模.

    2. 今设 \(A=k\) 为域, \(V_i\) 为有限生成 \(k\) 模. 证明 “Euler 示性数”

      \begin{equation*} \sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} \dim_k V_i \end{equation*}

      等于

      \begin{equation*} \sum_{i=0}^{n}(-1)^{i} \dim_{k} \mathrm{H}_{i}(V_{\bullet},\partial_{\bullet}). \end{equation*}

      用这个来判断下列线性空间的链复形

      \begin{equation*} 0 \to \mathbb{C} \xrightarrow{\partial} \mathbb{C}^{3} \xrightarrow{\partial} \mathbb{C} \to 0 \end{equation*}

      是否正合.

    3. 计算环 \(\mathbb{R}\) 上的链复形

      \begin{equation*} \mathbb{R}^{4} \xrightarrow{\partial_2} \mathbb{R}^{6} \xrightarrow{\partial_1} \mathbb{R}^{4} \end{equation*}

      的同调模, 其中

      \begin{equation*} \partial_{2}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}; \quad \partial_1= \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}. \end{equation*}

  1. 设 \(k\) 是域. 设 \(k(X)\) 是 \(k\) 上的以 \(X\) 为变量的一元有理函 数. 求 \(k(X)\) 中所有的关于 \(k\) 的代数元.
  2. 设 \(\Omega\) 是包含域 \(k\) 的代数闭域 (比如 \(\Omega=\mathbb{C}\), \(k=\mathbb{Q}\)). 令 \(\overline{k}\) 是\(\Omega\) 中关于 \(k\) 的一切代数元的全 体. 证明 \(\overline{k}\) 是 \(k\) 的一个代数闭包.
  3. 求 \(\mathrm{Gal}(K/F)=\{\sigma:K \to K : \sigma\text{ 是域同构, 且 }\sigma|_F = \mathrm{Id}_{F}\}\), 其中
    • \(K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\), \(F=\mathbb{Q}\);
    • \(K=\mathbb{Q}(\omega,\sqrt[3]{2})\), \(F=\mathbb{Q}(\omega)\), \(\omega=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\);
    • \(K=\mathbb{Q}(\omega,\sqrt[3]{2})\), \(F=\mathbb{Q}\), \(\omega=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\);
    • \(K=\mathbb{C}(X)\), \(F=\mathbb{C}(X^{2})\) 是关于 \(X^2\) 的有理函数;
    • \(K\) 为实数域 \(\mathbb{R}\) 中一切关于 \(\mathbb{Q}\) 的代数元的全体 的域, \(F=\mathbb{Q}\). [如果 \(\alpha \in K\) 是正数, 则存在 \(\sqrt{\alpha} \in K\). 于是 \(\sigma(\alpha)=\sigma(\sqrt{\alpha})^2>0\). 据此证明 \(\sigma = \mathrm{Id}\)]
  4. 对整数 \(a \neq 0\), 考虑多项式 \(f(X)=X^{4} -a X - 1\).
    • 证明 \(f(X)\) 是 \(\mathbb{Q}[X]\) 中的不可约多项式.
    • 令 \(\alpha\) 为 \(f(X)\) 在 \(\mathbb{C}\) 中的一个 根. 令 \(K=\mathbb{Q}(\alpha)\). 证明: \([K:\mathbb{Q}]=4\), 且对无 穷多个 \(a\), \(K\) 的子域只有 \(K\) 与 \(\mathbb{Q}\). 这时, \(\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\) 可能是什么群?
  5. \(k\) 为特征等于 \(p\) 的域, 其中 \(p\) 是素数. 令 \(F = k(t)\) 为 \(k\) 上的以 \(t\) 为变量的一元有理函数域.
    • 证明 Artin–Schreier 多项式 \(f(X)=X^{p}-X-t\) 在 \(F[X]\) 上不可约.
    • 令 \(E\) 是 \(f(X)\) 的分裂域. 求\([E:F]\).

      [群 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 通过 \(\alpha \mapsto \alpha + \xi\) (\(\xi \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)) 可迁地作用于 \(f(X)\) 的根.]

  6. 设 \(K/F\) 是有限 Galois 扩张. 证明 \(K/F\) 只有有限个中间域.
  7. 如果一个有限扩张 \(K/F\) 只有有限个中间域, 证明存在 \(\alpha \in K\), 使得 \(F(\alpha)=K\). 由此推出任何特征 0 域 \(F\) 的有限扩张 \(K/F\) 都是单扩张, 即形如 \(F(\alpha)/F\) 的扩张.
  8. 设 \(K \supset L \supset F\) 是域. 证明或否定以下断言.
    • 若 \(K/F\) 是有限 Galois 的, 则 \(K/L\) 也是有限 Galois 的.
    • 若 \(K/F\) 是有限正规的, 则 \(K/L\) 也是有限正规的.
    • 若 \(K/F\) 是有限 Galois 的, 则 \(L/F\) 也是有限 Galois 的.
    • 若 \(K/F\) 是有限正规的, 则 \(L/F\) 也是有限正规的.
    • 若 \(K/L\), \(L/F\) 都是有限 Galois 的, 则 \(K/F\) 也是有限 Galois 的.
  9. 令 \(K\) 是有理系数多项式 \(x^4 + x^2 + 1\) 的分裂域. 求 \(\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\).
  10. 证明或否定: 任何有限 Galois 扩张 \(K/F\) 都是一个 \(F[X]\) 中不可约多项式的 分裂域.
  11. 设 \(K/F\) 为正规扩张. 设 \(\Omega\) 为包含了 \(F\) 为子域的代数闭域. 证明, 任何两个同态 \(\sigma_1, \sigma_2: K \rightrightarrows \Omega\) 都有相同的像, 即 \(\sigma_1(K)=\sigma_2(K)\).
  12. 设 \(K/F\) 是有限 Galois 扩张. \(p\) 是整除 \([K:F]\) 的素数. 证明存在中间域 \(L\), 使得 \([K:L]=p\).
  13. 称有限 Galois 扩张 \(K/F\) 的中间域 \(L, L'\) 为 共轭 的, 若存在\(\sigma\in \mathrm{Gal}(K/F)\), 使得 \(\sigma L = L'\). 证明与 \(L\) 共轭的中间域的个数为 \(|G|\div|N_{G}H|\), 其中 \(G=\mathrm{Gal}(K/F)\), \(H=\mathrm{Gal}(K/L)\).
  14. 设 \(K\) 是有理系数多项式 \(X^5-2\) 的分裂域. 求 \([K:\mathbb{Q}]\) 和 \(\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\).