偏屈/反常/斜截层



Whenever Tacitus indulges himself in those beautiful episodes, …
His principal object is to relieve the attention of the reader from a uniform scene of vice and misery.



2024 年春学期我教了一门关于偏屈/反常/斜截层的课程. 以下是课程进度, 一些与此课程有关的笔记, 补充材料, 以及习题. 由于这些材料并未经过检查, 其中难免存在诈证, 笔误, 和参考文献缺失. 请使用者自辩真伪.


课程进度

第一讲 (二月二十七日)

“束论是法国数学家 J. Leray 的重要创造之一… 关于它的发明和发展有一段复杂的历史. 但在此, 先要说明束这一词的中文译名的故事. Leray 在定义束时采用的法文名词为 faisceau (复数为 faisceaux),翻译成英文为 sheaf (复数为 sheaves). 50 年代吴文俊先生在中国科学院数学研究所讲授这个理论时正式将法文 faisceau 及英文 sheaf 翻译成 ‘束’,已被数学界所公认并采用. 后来不幸被误译成 ‘层’,使人莫名其妙…” (干丹岩, 代数拓扑与微分拓扑简史)

  • 层论回顾.
  • 陈述紧合底变换定理; 一些简单例子.
  • Vietoris–Begle, Künneth, projection formula.
  • 两个基本三角 ii! → 1 → jj, j!j → 1 → ii; 相对上同调.
  • 作为层论局部方法的导引, 引入局部 Morse 数据.
  • 习题 1.

可参考的文献: Kashiwara–Schapira, I & II (Homological algebra & Sheaf theory); Goresky, “Morse Theory, Stratifications and Sheaves” (Morse data); 补充材料 2.

第二讲 (三月五日)

  • 完成有限维 Morse 数据的局部层论计算.
  • 引入局部系统及可构造层.
  • 陈述 Artin 消殁定理以及 Beilinson 引理; 证明引理 ⇒ 消殁定理.
  • 定义支撑条件 (半偏屈/反常/斜截层); 证明半斜截层的 Artin 消殁定理.
  • 证明可构造层的 “胞腔分解” 定理.
  • 开始基本引理的证明 (约化至仿射空间).
  • 习题 2.

可参考的文献: Goresky, “Morse Theory … Sheaves” (Morse data); Nori, “Constructible sheaves” (Proof of Beilinson’s lemma); Arapura, “The Leray spectral sequence is motivic” (applications of cellular decomposition); 补充材料 1.

第三讲 (三月十二日)

  • 完成 Beilinson 引理的证明 (简述了解旋的思路, 以及层论中常见的底变换问题).
  • 复习 Poincaré 对偶; Poincaré 对偶对奇异空间失效的例子.
  • 介绍 Borel–Moore 同调及其与紧支上同调的关系.
  • 计算投影曲线仿射锥的紧支上同调.
  • 习题 3.

可参考的文献: Nori, “Constructible sheaves”; Borel–Moore, “Homology theory for locally compact spaces”; Kashiwara–Schapira Chapter III (proof of Verdier duality).

第二讲与第三讲第一部分的内容大致与下面笔记 4 中的材料一致.

第四讲 (三月十九日)

  • Verdier–Borel–Moore 对偶; 关于 f! “有限维” 性质的评论; ωX “=” U 上的局部有限奇异链.
  • Df! = fD, f!D = Df, Hom(F,DG) = Hom(G,DF).
  • 可构造性被 Verdier 对偶保持; 双对偶; 关于底变换的补充.
  • 定义余支撑条件; 利用 *-分层 / !-分层探测支撑/余支撑条件.
  • 定义斜截层.
  • 展望: 斜截层的三个来源: 相交复形/中扩张, 邻圈/灭圈, 完整模的 de Rham/solution 复形 (以及非正则复形).
  • 斜截层的例子: 曲线上的斜截层, 曲线的仿射锥的 Q[2], 拓扑单支 (如正规) 奇异曲面的 Q[2], 正规曲面消解的 πQ[2].
  • 习题 4.

可参考的文献: de Cataldo–Migliorini 关于分解定理的综述; Lurie, “Verdier duality”; 补充材料 3; MacPherson’s 1991 colloquium notes (非常有趣!)

第五讲 (三月二十六日)

  • 正规曲面的相交复形. Deligne 的前推-截断定义. 正规曲面奇点消解的分解定理.
  • Milnor 纤维化, Milnor 纤维. 单径表示.
  • 拟齐次超曲面奇异点具有有限的单径作用.
  • Milnor 局部单径猜想.
  • 邻圈的定义. 常值层邻圈与 Milnor 纤维的上同调的关系.
  • 局部单径猜想的证明.
  • 习题 5.

可参考的文献: Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces; Kulikov, Mixed Hodge Structures and Singularities (奇异点理论简介); Berthelot’s Bourbaki report on alteration (局部单径定理的证明); Illusie, Autour du théorème de monodromie locale (邻圈与局部单径定理); 补充资料 7.

第六讲 (四月二日)

  • 回忆邻圈定义, 1维底空间上的邻圈 (记录去心开圆盘上局部系统之 abel 群及单径矩阵)
  • 常值层邻圈的茎 = Milnor 纤维上同调
  • 对紧合态射, 邻圈的超上同调 = 附近纤维的层上同调 + 单径信息. 非紧合反例 f: A2-{0} → A1, f(x,y) = x2 + y2 — 注意临界点被手动去除了.
  • 邻圈上单径作用的构造 (利用抽象滥调). 与经典临近纤维上同调之单径作用的比较
  • Grothendieck 局部单径定理的补充, 算术版本
  • 实例: Tate 的椭圆曲线的单径表示
  • 习题 6.

可参考的文献: SGA 7, Exposés XIII (平展上同调版本), XIV (超越理论); 补充资料 7.

第七讲 (四月九日)

  • 引入灭圈. 介绍如何用灭圈和典范序列比较特殊纤维与一般纤维的上同调
  • 灭圈与偏屈层的关系: 邻圈与灭圈 (移动 -1 后) 保持偏屈性 (待证)
  • 局部完全交空间上常值层 (移动后) 是偏屈层 (待证)
  • 计算 Pn 中光滑 d 次超曲面的 Betti 数
  • 介绍 Maxim-Păunescu-Tibăr 对奇异超曲面中次数上同调的精确估计. 方法 (Maxim-Morihiko Saito-Schürman): 一般的铅笔在基轨迹上无灭圈
  • 如何用一般超平面截面和 Gysin 映射来估计超过中次数的上同调的维数 (一般纯性定理)
  • 习题 7

可参考的文献: Maxim-Păunescu-Tibăr: “Vanishing cohomology and Betti bounds for complex projective hypersurfaces”; Maxim-Morihiko Saito-Schürman: Hirzebruch-Milnor classes of complete intersections; 补充资料 7; 补充资料 8.

笔记或补充材料